我们为何钟情混沌？源于对创造秩序的热爱——镶嵌的历史探秘

我们偏爱混沌，那是因为我们内心渴望构建秩序。

—— 莫里茨·埃舍尔

陈关荣 | 作者

“镶嵌术”，亦称作“密铺法”，指的是一种利用形状一致的瓷砖，既不重叠也不留缝隙，将地面或墙面完全覆盖的技术或艺术形式。在日常生活中，人们常用具有特定几何形状的板块，拼凑出各式各样既复杂又美观的图案，如图1所示。

图1 “镶嵌”或“密铺”艺术图案示例

“tessellation”这一术语的起源是希腊语中的“τέσσερα”，意为“四”，这主要是因为最早的瓷砖形状是正方形的，它是早期用于铺设地板和墙壁的瓷砖中最基本的几何图形。镶嵌艺术的历史可以追溯到4000多年前，当时苏美尔人便开始使用粘土瓦片来装饰他们的住宅和神殿。此后，该技术与艺术得以在埃及人、波斯人、罗马人及希腊人手中传承，继而由拜占庭人、阿拉伯人、中国人、日本人和摩尔人进一步发展。在这一过程中，它不断融入了各个时代、各民族特有的宗教信仰、文化特色和艺术风格。值得指出的是，伊斯兰美术，尤其是中世纪西北非洲的马格里布、摩洛哥、尼日利亚，以及西南欧洲的伊比利亚半岛、地中海的西西里岛和马耳他等地的穆斯林民族，他们对艺术作出了重要贡献。他们的作品被称为“zillij”或“zellige”，这代表了一种以“学习、规则和信仰”为基石的艺术形式。

图2 伊斯兰镶嵌图案美术设计示例

自中世纪起，尤其是进入19、20世纪，人们开始从数学理论，尤其是图论的视角，对各式各样的复杂镶嵌图案进行研究和设计。荷兰艺术家莫里茨·埃舍尔，他的作品极具代表性，以及英国数学物理学家罗杰·彭罗斯及其父亲、精神科医生莱昂内尔·彭罗斯，他们的众多设计都充满了神奇。埃舍尔先生正是创作了那幅享有盛誉的透视错觉素描作品“上下阶梯”（如图3左侧所示）。此外，他还精心设计了一系列精美的木刻、石版画、铜版画以及素描镶嵌图案，例如图3中的中间和右侧作品。

图3 埃舍尔的“上下阶梯”名画和他的镶嵌图案示例

埃舍尔的“上下阶梯”设计深受彭罗斯楼梯（如图4左上图所示）与彭罗斯三角（如图4左下图所示）的启发而创作，该设计是对彭罗斯楼梯艺术性的体现。彭罗斯父子创立了“彭罗斯密铺”这一概念，其中彭罗斯楼梯和彭罗斯三角是其典型代表。值得注意的是，彭罗斯三角这一图形最早是由瑞士图形艺术家奥斯卡·路透斯瓦在1937年创作完成的。

罗杰·彭罗斯设计了一些非周期性的镶嵌图案，比如图4中展示的上图所示。与之形成对比的是，还有一类镶嵌图案是通过周期性的重复方式形成的，图4中的下图即为这一类的例子。彭罗斯三角、彭罗斯楼梯与“莫比乌斯带”以及“不可能三叉戟”等拓扑学上的奇观和视觉错觉紧密相连，不过在此我们暂且不深入探讨这些内容。罗杰·彭罗斯对镶嵌技术情有独钟，这仅是他的业余爱好。令人称道的是，在2020年，这位89岁高龄的数学物理学家凭借其巧妙运用的数学方法，成功证明了黑洞是爱因斯坦广义相对论的必然产物，因此荣获了诺贝尔物理学奖。

图4左侧展示了彭罗斯楼梯与三角形图案；（中间部分呈现了）非周期性与周期性镶嵌的对比；（右侧则是）莫比乌斯带与不可能的三叉戟图形。

在平面镶嵌中，每一种形状的基础瓷砖都被称作“原型块”。当仅使用一种原型块进行镶嵌时，这种镶嵌方式被称为单面体密铺。这种由单一形状构成的瓷砖，亦被称作单瓷砖。因其德语名称为“ein Stein”，众人戏称为“einstein”（即“爱因斯坦”）。周期性单面体密铺相对简单，比如可以使用正三角形、正方形或正六边形作为基本单元。至于五边形，目前所知的原型块种类仅有15种，如图5所示。

图5 目前知道的15种五边形周期密铺

非周期性的单面体密铺问题要复杂得多。罗杰·彭罗斯首次提出，通过使用两种不同的菱形，可以实现非周期性的密铺效果（如图6所示，左侧图片）。数年后，至2023年5月，一支由英国、加拿大及美国计算机科学及数学领域的专家们——David Smith、Joseph S. Myers、Craig S. Kaplan、Chaim Goodman-Strauss——构成的科研团队宣布：他们成功发现了一种全新的非周期性密铺方法，此方法仅需一种13边形单面体作为基本单元（见图6，右侧图形）。

图6展示了非周期密铺的实例：彭罗斯运用了两种菱形进行设计；而David Smith小组则采用了单一种类的13边形。

螺旋形单面体密铺，一种结构独特且精致的单面体密铺模式，由德国数学家海因茨·沃德伯格在1936年首次揭示，如图7所展示。不久之后，这一方法便被应用于双面体密铺、三面体密铺、四面体密铺，乃至多面体密铺。然而，在此我们暂不深入探讨那些复杂的高维镶嵌问题。

图7 沃德伯格的螺旋单面体密铺

根据所采用的多面体模板的类型，镶嵌可以划分为规则镶嵌、半规则镶嵌以及不规则镶嵌，具体可参照图8。

图8 规则（左）、半规则（中）和不规则（右）的镶嵌图案

拿破仑密铺是一种别具一格的半规则镶嵌图案。如图9所展示，该图案从红色三角形出发，在其每条边外部各自构建一个等边三角形。有趣的是，拿破仑曾观察到，这三个新三角形的中心黑点所构成的三角形，实际上是一个标准的正三角形。在此，我们不探讨该拿破仑式的三角形，转而选取由四个相连三角形构成的单元，依照既定规律不断向外延伸，最终形成一种紧密镶嵌的图案。

图9 拿破仑密铺

显而易见，图形的“对称性”在此处发挥了至关重要的作用。在进行镶嵌的数学分析和计算过程中，我们通常预设平面是无限的，这意味着它在任何方向上都没有明显的界限。因此，在广阔的无限平面之中，我们可以探讨多种对称的几何变化，这些变化涵盖了以下几种：首先是平移变换，指的是将图形沿特定方向移动特定长度；其次是旋转变换，指的是图形围绕某一参照点旋转特定角度；最后是滑翔反射变换，这涉及到图形在某一参照轴线上进行镜面反射，随后再进行一定距离的平移。这三种几何变换所生成的图形与原始图形保持等长等度关系，即原始图形的每一条边长和每一个角度均未发生变化，仅仅是在空间中的位置和方向发生了变化，具体可参照图10进行观察。

图10 平移变换（左）、旋转变换（中）和滑翔反射变换（右）

在镶嵌艺术中，人们常常通过运用各式各样的对称几何变换，创造出赏心悦目的视觉效果。然而，我们必须牢记，无论设计何种镶嵌图案，都必须确保其能够实现密铺，也就是说，必须完全覆盖整个平面，既不能有重叠的部分，也不能留下任何空隙。在1891年，俄罗斯数学家叶夫格拉夫·费奥多罗夫，这位生于1853年、逝于1919年的学者，成功证明了通过运用各种原型块，最多可以创造出17种独特的组合方式来密铺平面。紧接着，1924年，一位匈牙利血统的美国数学家乔治·波利亚，同样独立地得出了这一结论。数学家们揭示，这些组合能够形成一种数学上的“对称群体”，被称作“壁纸群体”。受到波利亚的灵感触动，埃舍尔进而创作出了43种精美的镶嵌图案，这些图案均融入了这17种独特的组合形式。

存在一种独特的镶嵌图案，它是以“非欧几里得几何”为设计灵感，如图11所示。在这组图案中，左侧的图案代表的是双曲几何形态，而右侧的图案则展现了球面几何的特征。

图11 “非欧几里得几何”镶嵌图案

显而易见，在众多分类组合中，颜色扮演着关键角色，比如，形状一致但色彩各异的瓷砖是否会被视为不同种类？这一点在艺术设计领域通常并无异议，然而在数学研究与探讨中，却需提前明确界定。1961年，华裔美国逻辑学家王浩（生于1921年，逝于1995年）发现，决策问题与镶嵌问题可以在某种方式下相互对应。为了便于阐述，他采用了不同色彩的方形基础单元，这些单元被后人称作“王浩的多米诺骨牌”。王浩通过证明指出，图灵机可以被转换成一系列这样的多米诺骨牌。此外，他还提出了一个“多米诺骨牌问题”，即是否存在这样的多米诺骨牌组合，通过合理布置，使得相邻骨牌的边缘两侧颜色各异，并能够完全覆盖整个平面。他注意到，若该问题在逻辑学上无法判定，那么这就意味着必然存在一组非周期性的王浩多米诺骨牌，它们能够完成密铺。在那时，这样的逻辑学上的不可判定性显得非常令人难以置信，因此王浩推断这个逻辑问题在本质上应该是可判定的，因此并不存在那种非周期的图形集合。

1964年，王浩的弟子罗伯特·伯杰在其博士论文中证实：王浩所提出的多米诺骨牌问题在逻辑上无法判定，从而证明了他的导师所提出的问题本身是正确的，而他先前所猜测的答案则是错误的。伯杰详细构建了一套包含20426个非周期性王浩多米诺骨牌的例子。此外，他还提到，这个数量可以进一步减少至104个，然而，他的这一证明并未公开发表。在 1968 年，美国知名的计算机专家唐纳德·高德纳（Donald E. Knuth，1938–）对伯杰的构造程序进行了改进，他发现仅需 92 块王浩多米诺骨牌即可实现。1971年，美国数学家拉斐尔·罗宾逊（Raphael M. Robinson，1911–1995）对伯杰的构造程序进行了简化，提出仅需56枚多米诺骨牌即可。到了1996年，捷克计算机科学家卡雷尔·库利克（Karel Culik II, 1934–）又将这一数量降至13枚。2015年，法国的计算机专家Emmanuel Jeandel与Michael Rao共同证实，仅需11张王浩多米诺骨牌，搭配四种颜色，即可实现，具体如图12所示。

图12展示了Jeamdel与Rao提出的11枚王浩多米诺骨牌及其对应的4种颜色分配方案。

数学家们不仅热衷于探讨各类命题的成立与否，比如之前提到的王浩关于非周期性多米诺骨牌是否存在的问题，而且他们还热衷于寻找各种极大值或极小值。在讨论平面密铺问题时，他们会提出这样的疑问：若以面积为1的全等多边形作为平面密铺的基本单元，那么在所有这样的原型块中，周长最短的块体将呈现何种形状？显而易见，单位正方形能够实现紧密铺贴，其周长数值为4，如图13（左侧图像）所展示。然而，它是否拥有最短的周长呢？通过简单计算即可得知，面积为1的正六边形同样能够进行密铺，并且其周长大约是3.72，比正方形的周长更短。不过，与正方形不同的是，经过平移变换后的正六边形，其几何中心并不会正好位于标准单元网格的整数坐标点上（如图13中间图像所示）。因此，若我们执着于规定原型块的几何中心必须位于网格的整数坐标点上，那么这样的问题是否依然存在解决方案？在1989年，韩国的数学家、前KIAS大学的校长Jaigyoung Choe（生于1953年）成功证明了，确实存在一种周长最小的六边形原型块，它能够满足这一条件，具体可参考图13（右侧图片）。他并非仅仅通过巧妙地扭曲和变形正六边形，便达到了这一境界；实际上，这已是最优的解决方案。

图13 面积为1的多边形原型块作平面密铺，要求周长为最短

最终，我们可以直观地感受到，分形图案的装饰色彩斑斓，如图14所展示的那样。然而，这种复杂分形的形成是离不开计算机的。在当下，借助计算机辅助，我们能够看到各式各样的分形装饰图案。同时，那些用于各种图像网格划分的镶嵌规则，也被用来制作屏幕图像，以期达到更佳的视觉体验。实际上，图形艺术领域十分宽广，它展现了艺术与数学、科学的完美结合，揭示了通过重复使用基础图形来构建出复杂且美丽的图案的奥秘，尤其是那些色彩缤纷的分形镶嵌图案，更是备受瞩目。

图14 分形镶嵌图案示例

今日，图案镶嵌的理论与技术在向高维空间拓展和演变的过程中，展现了丰富多样的成果，并在计算机图形学、材料物理中的准晶体学等领域得到了具体应用。然而，这些引人入胜的话题已经远远超出了本篇短小精悍的文章所能涵盖的范围。

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